10. SINIF MATEMATİK TRİGONOMETRİ 4 KONU ANLATIMI

KONU ANLATIMI İNDİRMEK İÇİN TIKLAYIN.

TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere, trigonometrik denklemler denir. Denklemi sağlayan değerlere, denklemin kökleri; köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir. Çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir.

A. cosx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Kosinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.

olmak üzere, C noktasına a + k × 2p ve D noktasına –a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir. Bu durumda, cosx = a nın çözüm kümesi,

      

olur.

Sonuç

cosx = cosa biçimindeki denklemlerin çözüm kümesi:        dir.

B. sinx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Sinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.

olmak üzere, C noktasına a + k × 2p ve D noktasına p – a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir. Bu durumda, sinx = a nın çözüm kümesi,

      

olur.

C. tanx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Tanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.

olmak üzere, C noktasına a + k × 2p ve E noktasına p + a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir. Her iki açının da tanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.

Tanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan

tanx = a nın çözüm kümesi,

      

D. cotx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

Kotanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.

olmak üzere, C noktasına, a + k × 2p ve E noktasına, p + a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.

Her iki açının da kotanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.

Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan

cotx = anın çözüm kümesi,

      

Uyarı

Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde, denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine, ... , –1, 0, 1, ... tam sayıları yazılarak kökler bulunur. Bu köklerden verilen aralıkta olanları alınır.

10. SINIF MATEMATİK TRİGONOMETRİ 3 KONU ANLATIMI

KONU ANLATIMI İNDİRMEK İÇİN TIKLAYIN.

I. İKİ YAY TOPLAMININ veya FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLARI

Kural

Uyarı

Kural

olmak üzere, a × sinx + b × cosxin alabileceği; en büyük değer  en küçük değer  dir.

II. YARIM AÇI FORMÜLLERİ

Kural

III. DÖNÜŞÜM ve TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

A. DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

Toplam durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

Kural

Uyarı

B. TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri, toplam biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

Kural

10. SINIF MATEMATİK TRİGONOMETRİ 2 KONU ANLATIMI

KONU ANLATIMI İNDİRMEK İÇİN TIKLAYIN.

I. PERİYODİK FONKSİYONLAR

f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun.

      f : A ® B

      Her x Î A için f(x + T) = f(x)

olacak şekilde sıfırdan farklı en az bir T reel sayısı varsa; f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T ¹ 0 reel sayısına f nin periyodu denir. Bu eşitliği gerçekleyen birden fazla T reel sayısı varsa, bunların pozitif olanlarının en küçüğüne f fonksiyonunun esas periyodudenir.

f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere,

f(x) in periyodu k × T dir.

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYOTLARI

olduğu için sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonları periyodiktir.

sinx ve cosx fonksiyonlarının periyodu 2kp, tanx ve cotx fonksiyonlarının periyodu kp dir.

sinx ve cosx fonksiyonlarının esas periyodu (k = 1 için) 2p; tanx ve cotx fonksiyonlarının esas periyodu pdir.

Kural

a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere, f(x) = a + b × sinm(cx + d) g(x) = a + b × cosm(cx + d) fonksiyonlarının esas periyotları T olsun. Bu durumda,        olur.

Kural

a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,       f(x) = a + b × tanm(cx + d)       g(x) = a + b × cotm(cx + d) fonksiyonlarının esas periyotları T olsun. Bu durumda,

Kural

fonksiyonlarının esas periyodu, g(x) ve h(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşittir.

Uyarı

Buradaki kesirleri en sade biçimde olmalıdır.

Uyarı

f(x) = h(x) × g(x) olmak üzere, f(x) in esas periyodu, h(x) ve g(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşit olmayabilir. Eğer, f(x) = h(x) × g(x) in esas periyodu bulunacaksa, f(x) i fonksiyonların toplamı biçiminde yazarız. Sonrada toplanan fonksiyonların esas periyotlarının en küçük ortak katı alınır. Yukarıdaki açıklamalar bölünen fonksiyonlar için de geçerlidir.

II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,

1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.

2. Bulunan periyoda uygun bir aralık seçilir.

3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Bunun için, fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin tablosu yapılır. Tabloda fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden küçük ise (aldığı değer artmış ise) o aralığa  sembolünü yazarız. Eğer, fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden büyük ise (aldığı değer azalmış ise) o aralığa  sembolünü yazarız.

4. Seçilen bir periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Oluşan grafik, fonksiyonun periyodu aralığında tekrarlanacağı unutulmamalıdır.

A. SİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

      

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

B. KOSİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

      

fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.

Sonuç

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

 fonksiyonu bire bir ve

      örtendir.

C. TANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

      

fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.

D. KOTANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

      

fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.

Sonuç

fonksiyonu bire bir ve       örtendir.   fonksiyonu bire bir ve örtendir.

III. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

A. ARKSİNÜS FONKSİYONU

f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

      

fonksiyonunun tersi,

f^–1(x) = sin^–1x veya f^–1(x) = arcsinx

şeklinde gösterilir ve

B. ARKKOSİNÜS FONKSİYONU

f(x) = cosx fonksiyonunun tanım aralığı

[0, p] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda,

      f : [0, p] ® [–1, 1]

      f(x) = cosx

fonksiyonunun tersi,

f^–1(x) = cos^–1x veya f^–1(x) = arccosx

şeklinde gösterilir ve

arccos : [–1, 1] ® [0, p] dir.

C. ARKTANJANT FONKSİYONU

f(x) = tanx fonksiyonunun tanım aralığı

 alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

Bu durumda,

      

fonksiyonunun tersi,

f^–1(x) = tan^–1x veya f^–1(x) = arctanx

şeklinde gösterilir ve

D. ARKKOTANJANT FONKSİYONU

      

fonksiyonu bire bir ve örtendir.

      

fonksiyonuna cotx in ters fonksiyonu denir. Kotanjant fonksiyonunun tersi,

      

şeklinde gösterilir.

Sonuç

Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu fonksiyonun kendisine eşittir.  sin(arcsinx) = x tir.  cos(arccosx) = x tir.  tan(arctanx) = x tir.  cot(arccotx) = x tir.

Sonuç

q = arcsinx ise, x = sinq dır.  q = arccosx ise, x = cosq dır.  q = arctanx ise, x = tanq dır.  q = arccotx ise, x = cotq dır.

IV. ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

A. SİNÜS TEOREMİ

Kural

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c; çevrel çemberinin yarıçapı R birim olmak üzere,

B. KOSİNÜS TEOREMİ

Kural

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,        a2 = b2 + c2 – 2 × b × c × cosA dır. b2 = a2 + c2 – 2 × a × c × cosB dir. c2 = a2 + b2 – 2 × a × b × cosC dir.

C. ÜÇGENİN ALANI

Sonuç

Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,