Bernhard Riemann

Göttingen'de Gauss'un daha sonra Berlin'de Jacobi ve Steiner'in öğrenci-si oldu. Karmaşık değişkenli fonksiyonlar kuramı tezi bu kuramı tümüyle altüst etti. Bir noktada, bu noktaya ulaşan yola göre çok sayıda değer alan diferansiyellene bilir fonksiyonlardan yola çıkarak ve geçiş çizgileriyle bağlı, bindirilmiş düzlemlerden, yapraklardan oluşan bir Riemann yüzeyi üzerinde değişkeni dolaştırarak bu fonksiyonları bir biçimli hale getirdi.

Fonksiyonlar kuramıyla yüzeyler kuramı arasındaki bağları inceleyerek topolojinin temellerini attı; Riemann'ın bu bilim dalının yaratıcısı olduğunu söyleyebiliriz.

1854'te bir fonksiyonun trigonometrik serilerle gösterilmesini konu alan doçentlik tezinde, türevlenmeyen sürekli bir fonksiyon örneği verdi.Aynı incelemesinde Cauchy' nin kuramından daha genel bir integralleme kuramı geliştirdi; bu kuram, süreksizlik bakımından sayısız bir sonsuzluğu olan sınırlı fonksiyonlara uygulanabiliyordu. Oysa Cauchy'nin kuramı, yalnızca parça parça sürekli fonksiyonlar için geçerliydi. Sayılar kuramında zeka fonksiyonunun, asal sayıların aritmetik kuramı için önemini gösterdi. Riemann eğriliği pozitif olan katlı uzaylar üzerinde, koşutsuz, öklidçi olmayan bir geometri geliştirdi.

Riemann hipotezi (Riemann zeta hipotezi olarak da bilinmektedir), matematik alanında ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından ifade edilmiş fakat günümüze kadar çözülememiş problemlerden biridir.

Bazı pozitif tamsayıların kendilerinden küçük ve 1'den büyük tamsayıların çarpımı (örn. 2, 3, 5, 7, ...) cinsinden yazılamamak gibi bir özelliği vardır. Bu tür sayılara Asal sayılar denir. Asal sayılar, hem matematik hem de uygulama alanlarında çok önemli rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı bariz bir örüntüyü takip etmemektedir ancak Alman matematikçi Riemann, asal sayıların sıklığının;

s ≠ 1 olmak koşuluyla tüm s karmaşık sayıları için

biçiminde belirtilen ve Riemann Zeta Fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonun davranışına çok bağlı olduğunu gözlemledi. Riemann hipotezinin iddiasına göre

ζ(s) = 0

denkleminin tüm çözümleri karmaşık düzlemde bir doğru üzerinde yer almaktadır. Daha kesin bir söyleyişle, bu denklemin tüm karmaşık sayı çözümlerinin gerçel kısımlarının ½ olduğu tahmin edilmektedir. Bu iddia ilk 1.500.000.000 çözüm için sınanmıştır. Bu iddianın her çözüm için doğru olduğunun ispatlanabilmesi halinde asal sayıların dağılımı ile ilgili çok önemli bilgiler edinmek mümkün olacaktır.
Riemann toplamı
Riemann anlamında integralin tanımlanmasında kullanılan toplamdır.

Δxi ler fonksiyonun tanım aralığının sonsuz küçük bölüntüleri, pi ise bu bölüntülerden alınan bir sayıdır. n ise bölüntülerin toplam sayısıdır.