Antik Hint Matematiği

Hint matematiği, Hindistan yarımadasında M.Ö.1200 den başlayıp, 18. Yüzyılın sonlarına kadar icra edilen matematik uğraşını kapsamaktadır. Bu coğrafyada yaşayan toplum  İndus Vadisi Medeniyetini oluşturmuştur. Bu bölgedeki Harappa ve Mohenjo-daro bölgesinde yapılan kazılar sayesinde bu bölgede tarihöncesinde insanların pratik matematiği günlük yaşantılarında kullandığını biliyoruz. Bu insanların bir çeşit ağırlık ve uzunluk ölçüsü standardı geliştirdiklerini görüyoruz.

Ağırlık ölçüleri olarak 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1/2, 1/10, 1/20 birim ağırlığında geometrik şekillerde ağırlıklar oluştumuşlardır, ki buradaki ağırlık birimi 28 gramdır (yaklaşık olarak 1 ons).

Ayrıca kazılarda her birimi 3,4 cm olan 10 birimlik bir cetvel bulunmuştur. Bu dönemde insanların ürettiği tuğlaların ebatlarının da 4:2:1 sayıları ile orantılı olduğu öğrenilmiştir. Bu ve benzer birçok bulgu bu medeniyetin matematik kullandığını açıkça belirtiyor.

 

Bu ilk dönemlerde günlük bilgiler sözlü olarak aktarılıyordu ve bu bilgilere Vedadeniyordu (Veda Sanskrit dilinde bilgi demektir). Daha sonra bu bilgiler Sanskritçede yazı altına alınmaya başlanmıştır. Bu yazılarda matematiksel bilgiler de bulunmaktadır, bunlar genellikle diniuğraşlarla alakalıydı. Örneğin şahin biçiminde bir ateş altarı (altar: sunak, kurban kesilen yer, mihrap) inşa etmek için bazı geometrik çizim ve hesaplar elde edilmiştir. Bu çizimlerde paralelkenarlar, üçgenler, kareler vb geometrik şekiller kullanılmıştır. Aşağıdaki resimde bu altara ait bir çizim bulunmaktadır. Ayrıca M.Ö.1.200-900 arasındaki yazılarda, daha önceden hiç kullanılmayan, 10¹² gibi büyük sayılarla işlemler yapıldığı görülmüştür^[1]. Ayrıca aynı alana sahip çeşitli geometrik yapılar elde etme problemiyle uğraşılmış, daireyi kareleme veya tersi ile uğraşılması sonucu pi sayısına çeşitli yaklaşımlar elde edilmiştir.

 Bugün kullandığımız onluk sayı sistemi ve basamak değeri tarihte ilk defa Hintliler tarafından geliştirilmiştir. Babilliler de basamak değerine dayanan bir sistem kullanıyorlardı ama onlar 60lık sistem üzerine inşa etmişlerdi sayılarını. Daha önce Mısırlılar ve Yunanlıların kullandıkları sayı sistemlerinde basamak değeri diye bir kavram yoktu hatırlarsak, orada büyük sayılar oluştururken küçük sayılar kullanılarak yeni semboller türetiliyordu. Oysa basamak değeri sisteminde yeni sembol üretmek yerine, kullanılan rakamların posizyonu ve sırası büyük sayıyı belirtmektedir. Hintlilerin ne zaman numaralar yerine semboller kullanmaya başladığı açıklığa kavuşmuş değildir ancak üzerinde numaralar bulunan ilk metin Kharosthi elyazmasıdır. Bu metin bugünkü Afganistan’da bulunmuş olup, sağdan sola doğru yazılmış bir metindir. Basamak değeri kullanımına ilişkin veriler içermemektedir. Diğer bulgu da M.Ö.1000 de yazıldığı düşünülen Brahmi metnidir. Bu metinde ilk defa rakamların sembolleri belirtilmiştir ve bu metin Hindistan yarım adasında bulunan diğer tüm metinlere kaynak olmuştur. Bugün kullandığımız ondalık sistemin ve basamak değeri mantığının ilk olarak içerildiği metin ise M.Ö.100 yılından kalma olduğu tahmin edilen Nagri metnidir. Nagri metninde ilk defa açığa çıkan bu yeni sayı sistemi daha sonra düzenlenerek tam olarak açık bir şekilde diğer Hint metinlerinde verilecektir. Aşağıdaki resimde bu metinlerde kullanılan rakamları görebilirsiniz.

 M.Ö.800-200 arasında dönemin en önemli yazılı eserlerinden olan sulba-sutra denilen yazıtlar kaleme alınmıştır. Sanskrit dilinde sulba kiriş demektir. Sutra ise bir çeşit yazım formatıdır. Sutra formatında problem kolay ezberlenmesi için dizeler halinde verilip devamında probleme ilişkin çeşitli yorumlar ve çözümler düzyazı biçiminde verilir. Sulba-sutralarda genel olarak değişik şekillerde ama aynı alanı kaplayacak şekilde altarların nasıl inşa edileceğineilişkin bilgiler verilmiştir^[2]. Bu amaçla da birçok geometrik ve cebirsel yöntemler içermektedir. Toplam üç adetsulba-sutra vardır. En meşhur sulba-sutra, M.Ö.800de Baudhayana tarafından yazılan Baudhayana sulba-sutrasıdır. İçeriğinde bazı Pisagor üçlülerive Pisagor teoreminin çeşitli durumlar için ifadesibulunmaktadır^[3]. Ayrıca Baudhayana nin yaklaşık değerini veren bir de formülvermiştir. Bu formül:

 

 olarak verilmiştir ve ye virgülden sonra 5 basamağa kadardoğru yaklaşmıştır^[4]. Çok önceleri Babilliler de Plimton 322 tabletinde ye başka bir metotla 5 basamak yaklaşmışlardı. Bu metod:

 
 
şeklinde 60 tabanında hesaba dayanıyordu. Plimton 322 de de sulba-sutralar gibi Pisagor üçlüleri bulunuyordu. Diğer iki sulba-sutra da M.Ö.750-650arasında Manava tarafından kaleme alındığı düşünülen Manava sulba-sutrası ve M.Ö.600 de Apastamba tarafından yazılan Apastamba sulba-sutrasıdır. Bu iki sulba-sutra da Baudhayana sulba-sutrası ile benzer sonuçlar içermektedir.
Milattan önce 6. Yüzyılda Hindistan’da önemli dinireformlar olmuştur. Bunlardan en önemlisi, Mahavira’nın kurduğu Cainizm (jainism) dini ve felsefesidir. Bu felsefedeki varlık, yokluk, ruh gibi bazı dini kavramlardan etkilenilerek bu dönemde 2⁵⁸⁸gibi o zamana dek hiç gündeme gelmemiş büyüklükte sayılar matematiksel işlemlerde kullanılmış ve ilk defa matematiksel anlamda sonsuzlukkavramı gündeme gelmiştir. Cainistler sonsuzluğu da kendi arasında beşkategoriye ayırarak sınıflamışlardır. Ancak bu sonsuzluklar matematiksel bilgileri doğrultusunda değil tamamen dini inançları doğrultusunda tanımlanmışlardır. Yine bu dini inanç ve felsefenin etkisiyle cainistler matematiksel anlamda yokluk ve boşlukkavramlarını shunya (Sanskritçe de yok, boş anlamında) kelimesini kullanarak belirtmişler ve tarihte ilk defa bugünkü anlamda sıfır sayısını kullanmışlardır. Bu shunya kelimesi, bir milenyum sonra, uzun bir yolculuktan, birçok çeviri ve değişimden sonra bugünkü kullandığımız sıfır (zero) ismini alacaktır. Bu dönemin en dikkat çekici matematikçilerinden birisi Pingala’dır. Kaleme aldığı Chandas Sutra isimli eserde, kendisi Binomteoremini bilmemesine rağmen binom katsayılarını elde etmeye yönelik metotlar geliştirmiştir^[5][6]. Bu çalışmada ayrıca Bugün FibonacciSayıları olarak bilinen sayılara ilişkin olduğu düşünülen bazı bölümler de dikkat çekmektedir. Metnin içeriğinden ayrıca Pingala’nın

özdeşliğini bildiği de anlaşılıyor. Matematiksel bir metinde tarihte ilk defa sıfır sayısı da bu çalışmada geçmiştir. Bu metnin tamamı maalesef günümüze kadar ulaşamamıştır.
Cainizm döneminden günümüze kadar ulaşabilen en eski yazılı belge, 300-600 arası bir tarihte yazıldığı tahmin edilen, huş ağacı kabuğuna yazılmış olan Bakshali el yazmasıdır. Bu elyazması belge de sutra formatında yazılmış olup, tutarlı karekök yaklaşımları, belirsiz katsayılı çok değişkenli denklemlerin çözümleri gibi bazı konular içermektedir. Bu metinde sıfır yerine nokta kullanıldığı dikkat çekmektedir. Daha önce Pingala tarafından tanıtılan sıfır sayısı işlemlerde kullanılmıştır. Tarihte ilk defa sıfır sayısı ile işlemler bu metinde yapılmıştır. Ayrıca bu metinde ikinci dereceden denklemler ve formüller de bulunmaktadır. Bu belgede karekök için

formülü verilmiştir ki bu formülle birçok karekök hesabında çok tutarlı sonuçlar elde edilebilir.
Bu dönemin en önemli çalışmalardan bir diğeri de 499 da Aryabhatia ve Arya Siddhanta kitaplarıdır. Bunlar astronomi üzerine olup Aryabhata tarafından yazılmıştır. Maalesef ikinci kitap günümüze ulaşamamıştır. Aryabhatiada aritmetik, düzlem ve küresel geometri, trigonometri, ikinci dereceden denklemler, kuvvet seri toplamları ve bir sinüs fnksiyonu değer tablosu bulunmaktadır. Bu tablo Yunanlıların çalışmasından farklıdır. Bu çalışmada Aryabhata, şeklinde belirsiz katsayılı denklemler üzerinde durmuş ve bugün bildiğimiz Öklid (Euclid) algoritmasına denk bir çözüm yöntemi geliştirmiştir. Aşağıdaki resim bu metindeki sinüs tablosunu göstermektedir.

 Daha önceden de bahsettiğimiz gibi onluk sayı sistemi ve basamak değerlerine dayanan sistem Hint matematiğinde doğmuştu. Kendisinden çok önce ortaya atılan bu sistemi Aryabhata çalışmasında ilk kez tam olarak vermiştir. Bundan dolayı birçok kaynakta bu sistemin ilk kez Aryabhata’nın çalışmasında görüldüğü belirtilir. Bu sayma sistemi daha sonra 857 yılında Varahamihira’nın çalışması sayesinde tüm Hint entelektüel çevresine yayılmış ve kullanılmaya başlanmıştır. Aşağıdaki resimde bu metinlerde kullanılan sayıları basamak değerleriyle beraber görebilirsiniz.

 Diğer bir önemli Hint matematikçisi de Brahmagupta’dır. Astronomi üzerine 628 yılında yazdığı Brahmaputha Siddhanta (evrenin açılışı demektir) ve 665 de yazdığı Khandakhadyaka kitaplarıyla tanınmaktadır. Daha önceden Aryabhanta’nın verdiği, belirsiz katsayılı iki bilinmeyenli lineer denklemlerin çözüm metodu üzerine çalışmalar bu kitaplarda tekrar ele alınmış ve Brahmagupta bu kitapta bu tür denklemlerin çözümlerinin var olması için gerek yeter koşul vermiştir. Brahmagupta ayrıca
 
 İfadelerini de ispatsız olarak vermiştir bu metinlerde. Brahmagupta’nın en dikkat çeken sonuçları dış teğet çemberi olan dörtgenler ile alakalı olan sonuçlarıdır. Brahmagupta, eğer bu şekildeki bir dörtgenin köşegenleri birbirini dik kesiyor ise, bir kenara çekilen dikme karşı kenarı iki eşit parçaya böler demiştir. Ayrıca Brahmagupta bu şekildeki bir dörtgenin alanını veren bir formül de vermiştir. bu formüle göre kenarları a, b, c, d olan ve dış teğet çemberi olan bir dörtgenin alanı
dır. Burada s ise dörtgenin çevresinin yarısıdır. Brahmagupta ayrıca ikinci dereceden denklemlerin çözümleri ile de uğraşmıştır bu eserlerde.

ax²+bx+c=0 denklemini çözümünü Brahmagupta

olarak vermiştir ve kitaplarında bu formülü birçok özel denklemde uygulamıştır. Bu eserlerde dikkat çeken bir ayrıntı da Brahmagupta’nın sıfır ile bölerek işlemler yapmasıydı. Yani 0/0 ve n/0 ifadelerini birer sayı olarak kabul ediyordu.

Bu dönemden sonra İslam dünyasındaki matematiksel gelişmelerin de etkisiyle Hindistan’da matematik gelişmeye devam etmiştir. Birçok matematikçi çeşitli matematiksel çalışmalar yapmışlardır. Bunlardan en önemlileri Sangamagrava’lı Madhava’nın kurduğu Kerala okulunda yaptığı çalışmalardır (1300-1600). Bu çalışmalarda trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların seri açılımları elde edilmiştir. Newton ve Leibniz’in Kalkülüsü kurmalarından ve sonrasında Taylor serilerinin bulunmasından yüzyıllar önce elde edilen bu sonuçlar oldukça önemlidir. Aynı çağda İslam dünyasında da matematikte büyük gelişmeler yaşanmış, benzer seri açılımları elde edilmiştir. İslam dünyasında matematiğin gelişimini ayrı bir yazımda inceleyeceğim.
 Hayashi, Takao (2005), “Indian Mathematics”, pp. 360-361

1. Hayashi, Takao (2003), “Indian Mathematics”, in Grattan-Guinness, Ivor, Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, p 118.
2. Joseph, G. G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, Princeton, NJ: Princeton University Press, p 229.
3. , Roger (2005), The History of Mathematics: A Brief Course, New York: Wiley-Interscience, p 200.
4. Fowler, David (1996), “Binomial Coefficient Function”, The American Mathematical Monthly 103 (1): 1–17.
5. , A. N. (1936), “On the Use of Series in Hindu Mathematics”, Osiris 1 (1): 606–628.

Alıntı:http://sahmath.com/?p=439