Rusya’da bulunduğu sıralarda çözdüğü bir başka problem de Prusyadaki Königsberg, şimdiki adıyla Kaliningrad kenti ile ilgiliydi. Pregel nehrinin kıyılarında kurulmuş olan kent, birbirine 7 köprü ile bağlanmış dört bölümden oluşuyordu.
Kentin bazı meraklı sakinleri kendilerine, aynı köprüden iki kez geçmeye gerek kalmadan bütün köprüleri aşarak şehri dolaşmanın bir yolu olup olmadığını sormuşlardı. Ne kadar yol denendiyse , hepsi de boşa çıktı. Euler de uygun bir rota çizemedi ancak böyle bir gezinti yapmanın neden imkansız olduğunu açıklamayı başardı.
İşe bir kent planı üzerinde çalışarak başladı ve kentin bölümlerini noktalar, köprüleri ise çizgiler halinde gösterdiği basit bir şema oluşturdu:
Yayları düzgün bir şekilde çizersek:
Sonra da başarılı bir gezi yapabilmek için bir noktanın bağlandığı çizgilerin sayısının bir çift sayı olması gerektiğini ileri sürdü. Çünkü gezinti sırasında herhangi bir kara parçasından geçmek isteyen yolcunun oraya bir köprüden geçerek girmesi, sonra da başka bir köprüden geçerek çıkması gerekiyordu. Bunun sadece iki istisnası vardır: gezinin başladığı ve bittiği yer. Başlangıç durumunda yolcu bulunduğu kara parçasından ayrılmak için sadece bir köprüye ihtiyaç duyar., bitişte de yine tek bir köprüden geçerek son kara parçasına ayak basar. Eğer gezi farklı iki yerde başlayıp bitiyorsa, bu iki kara parçasına bağlanan köprü sayısı tek olmak zorundadır. Bunun karşılık başlangıç ve bitiş yeri aynıysa, diğer bütün noktalar gibi bu noktanın da çift sayıda köprüye sahip olması gerekir.
Bu şekilde düşünen Euler, şu genel sonuca vardı: köprü ağı ne şekilde olursa olsun, her köprüden sadece bir kez geçerek geziyi tamamlayabilmek için ya her kara parçasının köprü sayısı çift ya da tamı tamına iki kara parçasının köprü sayısı tek olmak zorundaydı. Königsberg toplam dört kara parçasına yayılmıştır ve bunların her biri komşu yerlere tek sayıda köprüyle bağlanmıştır. Üç noktadan üçer köprü, birinden de beş köprü çıkmaktadır. Böylece Euler hem Köngsberg’i her köprüden sadece ve sadece bir kez geçerek dolaşmanın neden imkansız olduğunu göstermiş hem de dünyanın herhangi bir yerindeki herhangi bir şehrin köprü ağına uygulanabilecek bir kural oryata koymuştur. Argümanı estetik bir basitliğe sahiptir ve belki de akşam yemeği öncesinde karalayıverdiği mantık problemlerinden biridir.
Königsberg bilmecesi, uygulamalı matematikte ağ problemi diye anılan türün bir örneğidir. Ancak Euler’e daha soyut ağları ele alma konusunda ilham vermiştir. Euler bütün ağ sistemlerinin temelini oluşturan bir doğruyu bulmaya girişti ve sadece birkaç mantıksal adımdan yararlanarak ağ formülünü geliştirdi. Bu formül, herhangi bir ağı betimleyen üç özellik arasındaki kalıcı ilişkiyi dile getirir:
V+R-L = 1
V = Ağdaki köşelerin (kesişme noktaları) sayısı,
L = Ağdaki çizgilerin sayısı
R = Ağdaki bölgelerin (kapalı alanların) sayısıdır.
Euler’in iddiasına göre, herhangi bir ağ sisteminde köşelerin ve alanların sayıları toplanıp bundan çizgilerin sayısı çıkarıldığında sonuç her zaman 1′dir. Örneğin alttaki şekilde bütün ağlar bu kurala uymaktadır.
Bu formülü bir çok ağ için sınadığımızı düşünebiliriz. Eğer her seferinde doğru çıkıyorsa, bütün ağlar için doğru olduğunu kabul etmeye yatkınlık duymaya başlarız. Bu, bilimsel bir kuram için yeterli kanıt sayılır ancak bir matematik teoremini doğrulamaya yetmez. Formülün bütün olası ağlar için geçerli olduğunu göstermenin tek yolu kusursuz bir argüman oluşturmaktır. Euler’in yaptığı da buydu.
Euler olabilecek en basit ağı düşünerek işe başladı, bu da yandaki şekilde a maddesinde görüldüğü gibi tek bir köşeden ibarettir. Bu ağ için formülün doğru olduğu açıkça bellidir: bir köşe var, çizgi ve alan yok, dolayısıyla:
V+R-L = 1 + 0 – 1 = 1
Eulerin bundan sonra yaptığı bu en basit ağa bir ekleme yapıldığında ne olacağını sormaktı. Bir köşeye herhangi bir ek yapılacaksa, mutlaka bir çizgi çekmek gerekir. Bu çizgi ya ya mevcut köşeyi kendi kendisine bağlar ya da yeni bir köşeye bağlar.
b maddesinde görüldüğü gibi kendi kendisine bağlanmasına bakalım. Çizginin eklenmesiyle birlikte ortaya bir de yeni alan çıkıyor. Böylece ağ formülü de geçerliliğini koruyor çünkü eklenen alanla (+1) eklenen çizgi (-1) birbirini dengeliyor. Bu şekilde daha ne kadar çizgi eklense, her çizgi bir de yeni akan oluşturacağından, formül hep doğru kalacaktır.
İkinci olarak da çizginin yeni bir köşeye bağlandığı durumu ele alalım, c maddesi. Bir kez daha ağ formülünün doğru kaldığını görüyoruz çünkü bu defa da eklenen köşeyle (+1) eklenen çizgi (-1) birbirini dengeler. Bu şekilde eklenen yeni çizgiler de daima yeni bir köşe doğuracağından ağ formülü yine hep doğru olacaktır.
İşte ispat için Euler’e gereken sadece bu kadardı. Şöyle akıl yürütüyordu: ağ formülü bütün ağların en basiti olan tek köşe için doğrudur. Ayrıca başka her ağ da, ne kadar karmaşık olursa olsun, bu en basit ağa teker teker yeni çizgiler ekleyerek oluşturulur. Her yeni çizgi eklenişinde ağ formülü doğru olarak kalacaktır. çünkü hep ya yeni bir köşe ya da yeni bir alan eklenmiş olacak, bu da dengeleyici bir etki yapacaktır. Euler basit ama çok güçlü bir strateji geliştirmişti. Formülün en temel ağ için, yani tek bir köşe için doğru olduğunu ispat ettikten sonra ağı daha karmaşık hale getirecek her türlü işlemin, formülün geçerliliğinin muhafaza etmeyi sürdüreceğini göstermişti. Dolayısıyla formül, sonsuz sayıdaki bütün olası ağlar için doğruydu.
Alıntı:http://www.matemasuk.com/
Hiç yorum yok:
Yorum Gönder