Kümeler

Matematik Formüllerinin Tamamını Görüntülemek İçin TIKLAYIN

KÜMELER

Kümelerde Birleşim İşlemi Özellikleri

* A ve B kümelerinin birleşimi, iki kümenin elemanları bir eleman bir kez kullanılacak şekilde bir küme içinde birleştirilmesidir.
* Kümelerde birleşim işlemi işareti ∪ sembolüdür.
* A ve B kümelerinin birleşim işlemi A∪B şeklin de gösterilir.
* A∪B = {x: x∈A veya x∈B}
* Her A ve B kümesi için A∪B=B∪A dır.

1) A∪A=A
2) A∪B=B∪A
3) A∪∅=A
4) A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
5) A∪B=∅ise A=∅ ve B=∅dir.
6) A⊂B ise A∪B=B dir
7) s(A∪B)=s(A)+s(B)-s(A∩B)
8) s(A∪B∪C)=s(A)+s(B)+s(C)-s(A∩B)-s(A∩C)-s(B∩C)+s(A∩B∩C)
9) s(A∪B)=s(A-B)+s(A∩B)+s(B-A)
10) A ⊂ (A ∪B) ve B ⊂ (A ∪B)
11) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ b)
12) A ⊂ (A ∪B)
13) B ⊂ (A ∪B)
14) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ b)

Kümelerde Kesişim İşlemi Özellikleri

* A ve B kümelerinin her ikisinde de ortak olarak bulunan elemanların kümesine bu iki kümenin kesişimi yada arakesiti denir.
* Kümelerde kesişim işlemi işareti ∩ sembolüdür.
* A ve B kümelerinin kesişim işlemi A∩B şeklin de gösterilir.
* A∩B={x: x∈A ve x∈B}

1) A∩A=A
2) A∩B=B∩A
3) A∩∅=∅
4) A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
5) A∩B=∅ ise

i) A=∅ veya B=∅ dir
ii) A ve B kümeleri ayrıktır.
6) A⊂B ise A∩B=A dir
7) A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C)
8) A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C)
9) s(A∩B)= s(A)+s(B)-(A∪B)
10) s(A∩B)=s(A∪B)-s(A-B)-s(B-A)
11) (A ∩ B) ⊂ A ve (A ∩ B) ⊂ B
12) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ b)
13) (A ∩ B) ⊂ A
14) (A ∩ B) ⊂ B
15) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ b)

Kümelerde Fark İşlemi Özellikleri

A ve B iki küme olsun. A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanlardan meydana gelen kümeye A fark B kümesi denir. A \ B veya A – B şeklinde gösterilir.
Buna göre, A \ B = { x | x ∈A ve x ∉ B} olur. Şekilde Venn şeması ile gösterilmiştir.

A,B,C birer küme olmak üzere

1) A\A=∅
2) A\∅=A
3) ∅\A=∅
4) A\B ≠B\A
5) A \ ( B ∩ C) = (A \ B) ∪(A\C)
6) A \ ( B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A\C)
7) A \ ( B \ C) = (A \ B) ∪(A∩C)
8) (A \ B) ∪ B = A ∪ B
9) (A \ B) ∩ ( A ∩ B)=∅
10) (B\A) ∩ ( A ∩ B)=∅
11) A \ (A \ B)=A ∩ B
12) A \ (B \ A)=A
13) B \ (A \ B)=B
14) (A \ B) ∩ (B \ A)=∅
15) (A \ B) \ (B \ A)=A \ B
16) (B \ A) \ (A \ B)=B \ A
17) (A \ B) ⊂ A
18) (B \ A) ⊂ B
19) (A \ B) ∩ B=∅
20) A\( A ∩ B)=A \ B
21) A=(A \ B) ∪(A ∩ B)
22) B=(B \ A)∪(A ∩ B)
23) A ⊂ B ise A \ B=∅
24) A U B = (A \ B) ∪(B \ A) ∪(A ∩ B)

Kümelerde Evrensel Küme ve Tümleyen Özellikleri

Evrensel küme
Elemanları incelenen kümeye göre, yapılması gereken bütün işlemleri içine alabilecek şekilde belirlenen, en geniş kümeye evrensel küme denir.
Genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme sonlu veya sonsuz küme olabilir.
Evrensel küme, incelenen probleme göre değişir. Hiç bir zaman boş küme olamaz.
Evrensel kümeyi Venn şeması ile gösterirken, diğer kümelerden ayırt etmek için dikdörtgen şeklinde gösterilir.

Tümleme
E evrensel kümesi içinde bir A kümesi veriliyor. A kümesi, E evrensel kümenin bir alt kümesidir. Buna göre, E evrensel kümesine ait olup, A kümesine ait olmayan elemanların oluşturduğu kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A' veya A sembolü ile gösterilir.

E, evrensel küme
A ⊂ E , B ⊂E ,
A' A nın tümleyeni
B' B nin tümleyeni
olmak üzere,

1) A' ⊂ E
2) A∪A'=E
3) A∩A'=∅
4) A∪E=E
5) E'=∅
6) ∅'=E
7) A∩E=A
8) (A')^'=A
9) E\A=A'
10) A \ B=A∩B' (A∪B≠E ise)
11) (A \ B)^'=A'∪B
12) A \ B=B' (A∪B=E ise)
13) A\A'=A

DE MORGAN KURALLARI

1) (A U B)^'=A'∩B'
2) (A ∩ B)^'=A'∪B'

Alt Küme Sorularında Kullanılan Formüller

Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A ⊂B şeklinde yazılır “A alt küme B” diye okunur.
Bu tanıma göre, (A ⊂B) ⇔ (∀x ∈ A⇒x ∈ B) dir.

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿformülüyle bulunur. Ayrıca

n elemanlı bir kümeden seçilmiş 2 elemandan

a) Her ikisinin de bulunduğu altküme sayısı : 2ⁿ⁻²
b) Hiçbirinin bulunmadığı altküme sayısı : 2ⁿ⁻²
c) En az birinin bulunmadığı altküme sayısı : 3.2ⁿ⁻²
d) En az birinin bulunduğu altküme sayısı : 3.2ⁿ⁻²
e) Herhangi birinin bulunmadığı altküme sayısı : 3.2ⁿ⁻²
f) İkisinin beraber bulunmadığı altküme sayısı : 3.2ⁿ⁻²
g) Birinin bulunduğu, diğerinin bulunmadığı altküme sayısı : 3.2ⁿ⁻²

n elemanlı bir kümeden seçilmiş r elemandan

a) Hepsinin bulunduğu altküme sayısı : 2^n−r
b) Birarada bulunmadığı altküme sayısı : 2ⁿ−2^n−r
c) Hiçbirinin bulunmadığı altküme sayısı : 2^n−r
d) r=x+y olmak üzere
x tanesinin bulunduğu y tanesinin bulunmadığı altküme sayısı : 2^n−r

Küme Problemlerinde Kullanılan Formüller

E, evrensel küme
A ⊂ E , B ⊂ E , C ⊂ E
A' A nın tümleyeni
olmak üzere,

1) s (A U B)= s(A)+s(B) ( A ∩ B=∅ ise )
2) s (A U B)= s(A)+s(B)-s (A ∩ B) ( A ∩ B≠∅ ise )
3) s(A∪B∪C)=s(A)+s(B)+S(C)-s (A ∩ B)-s (A ∩ C)-s (B ∩ C)+s (A ∩ B∩C)
4) s(A)+s(A')=S(E)
5) s(A)=s(A \ B)+s(A ∩ B)
6) s(B)=s(B \ A)+s(A ∩ B)
7) s(A U B) = s(A \ B) + s(B \ A) + s(A ∩ B)
8) s(A U B) = s(A \ B) + s(A)
9) s(E)=s(A U B)+s[(A U B)^']
Matematik Formüllerinin Tamamını Görüntülemek İçin TIKLAYIN