Üçgensel Sayılar ve Karesel Sayılar

“Kutsa bizi ilahi sayı, ey sen tanrıları ve insanı yaratan! Ey kutsal, kutsal tetraktis, durmadan akan yaradılışın kökü ve kaynağı! Zira ilahi sayı yüce, saf birlikten başlayıp kutsal dörde kadar gelir; daha sonra her şeyin anası, her şeyi kucaklayan, her şeyi sınırlayan, ilk doğan, asla yolundan sapmayan, hiç yorulmayan kutsal onu, her şeyin anahtarını elinde tutanı doğurur.“

Bu dua Pisagor’un tetraktis’e, yani kutsal dörtlüye ettiği duadır. 1 uzayda bir noktayı, 2 iki noktayı birbirine bağlayan doğru parçasını, 3 doğru parçalarının yan yana gelmesi suretiyle oluşacak yüzeyi ve 4 ise yüzeylerin üst üste gelmesiyle oluşacak hacmi niteler (ayrıca bu dört sayının ateş, su, hava ve topraktan oluşan dört elementi temsil ettiğine de inanılır). Pisagor’a göre evrenin düzeni ve düzenindeki mantığı ise bu dördünün toplamı olan 10 sayısındadır. Pisagor’un bir müridine:

— Bak gördün mü, dört sandığın aslında ondur, bütün bir üçgen ve bizim parolamız,

dediği ile ilgili ilginç bir hikaye de vardır. Ancak burada değinmek istediğim, hikayeden çok Pisagor’un üçgene yaptığı göndermedir. Pisagor’un dediğinden öyle anlaşılıyor ki, o dönemde sayıların aynı zamanda noktalar vesilesiyle de bir gösterimi mevcuttu. Zira demiş olduğu “dört sandığın aslında on” ve “bütün bir üçgen” sözleri

Pisagor’un bu şekilde bir gösterime işaret ettiği anlamına geliyor. İşte bu şekilde, sayının büyüklüğü kadar nokta yardımıyla bir üçgen oluşturulabilen sayılara üçgen sayı veya üçgensel sayı denir. Doğal olarak akla “başka üçgensel sayılar var mıdır, varsa bir üçgensel sayıyı nasıl elde edebiliriz, bu tarz sayılar için genel bir gösterim yani bir formülasyon mevcut mudur” soruları gelebilir. Bu sayılara verilen isim, sayının geometrik gösteriminden kaynaklandığı için biz de görselliği elden bırakmayalım.

Şekilden anlaşılacağı gibi, noktalar vesilesiyle oluşturulan üçgenin her basamağındaki nokta sayısı, bu basamağın bir altındakine göre bir eksiktir. Örneğin aşağıdan yukarı giderken ilk satırda 4 nokta varsa bir üst satırda bunun bir eksiği olan 3 nokta olmalıdır. Bir üstünde 2 ve onun da üstünde 1 nokta yer alır. Dolayısıyla tabanı 4 noktadan oluşan bir üçgende

nokta mevcuttur. Artık yöntemi biliyoruz; kaç nokta ile başlayacaksak o nokta adedinden her basamakta bir azını kullanmak suretiyle üçgenin tepesine doğru ilerleyeceğiz ve bu şekilde üçgeni oluşturup, birer birer azalttığımız sayıları toplayarak üçgensel sayının kaç olduğunu elde edeceğiz. Tabanında n tane nokta bulunan bir üçgenin bir üst satırında (n – 1) nokta, onun da bir üst satırında (n – 2) nokta bulunur ve bu şekilde devam etmek suretiyle en son tepede 1 nokta kalır. Dolayısıyla, T(n), n-inci üçgensel sayıyı göstermek üzere

toplamı üçgensel sayıların genel gösterimidir. Örneğin n yerine 4 koyarsak az önceki gibi T(4) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 üçgensel sayısını, n yerine 6 koyarsak T(6) = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 üçgensel sayısını elde ederiz. 

Ayrıca verilen toplam

biçiminde formüle edilebilir (tümevarım ile kolayca ispatlanır). Böylece n yerine 1′den başlayarak değerler verildikçe, formülde bu değerlere karşılık gelen üçgen sayılar

biçimindedir ve bu böyle devam eder. Burada dikkat edilmesi gereken bir diğer husus ise şudur: Herhangi ardışık iki üçgensel sayıyı toplarsak, elde edeceğimiz sonuç büyük sayının karesi olacaktır. Örneğin,

veya

gibi… Diğer taraftan, eğer bir sayı tam kare olarak yazılabiliyorsa, o halde bu sayı, üçgen sayılarda yaptığımız gösterime benzer olarak bir karesel geometrik gösterime sahiptir. Örneğin 4², 4 tane 4′ü temsil ettiği için, bu sayıyı, her satırında dört tane nokta bulunan dört tane satır ile yani dört satırlı bir kare ile gösterebiliriz.,

Aynısını 5² için, bir kenarı beş tane noktadan oluşan beş satırlı bir kare ile yapabiliriz.

Veya herhangi bir n sayısı için, n² sayısını bir kenarında n tane nokta bulunan bir kare ile modelleyebiliriz. İşte bu şekilde, kare biçiminde modellenebilen sayılara kare sayılar veya karesel sayılar denir. Üstelik yukarıdaki modellere bakarak ardışık iki üçgensel sayının toplamının bir karesel sayıya eşit olduğu kolayca görülebilmektedir. Gerçekten, S(n) ile bir kenarında n tane nokta bulunan karesel sayı temsil edilmek üzere,

sonucu basit cebirsel işlemlerle kolayca elde edilebilir.