Harshad (Niven) Sayıları

Günün birinde bir matematik öğretmeni öğrencilerinden, onları sayıların çarpanlarına ayrılması konusunda motive etmek amacıyla 2353 sayısının bir çarpanını bulmalarını ister ve bulan ilk kişiye şeker vereceğini söyler. Sınıfta yer alan bütün öğrenciler adeta sıralarına gömülür ve defterlerine bir şeyler karalamaya başlarlar… Bir süre sonra içlerinden birisi söz almak için parmağını kaldırır. Öğretmeninden söz alan öğrenci heyecanla “13″ yanıtını verir. Öğretmen cevabı doğrulamak ve sınıftaki öğrencilere göstermek için tahtada 2353 sayısını 13′e böler: 2353 ÷ 13 = 18. Öğretmen şaşırmıştır. Zira daha parlak olan öğrencilerden bir yanıt beklerken aksine sınıfın en kötü öğrencisi soruyu bilmiştir. Öğrenciye söz verdiği şekeri verdikten sonra aynı soruyu sayıyı değiştirerek yöneltir. Bu sefer söz konusu sayı 17887′dir. Öğrenciler yine ellerinde kalemleriyle defterlerine bir şeyler karalamaya koyulurlar. Bir süre sonra yine aynı çocuk söz istemek üzere parmak kaldırır. Öğretmen çocuğa söz hakkı verir ve çocuk bu sefer kendinden biraz daha emin bir şekilde “31″ yanıtını verir. Öğrencinin yanıtını onaylamak adına 17887′yi 31′e bölen öğretmen cevabı onaylar, zira 17887 ÷ 31 = 577 olup, tam bölme gerçekleştiği için 31 sayısı 17887′nin bir çarpanıdır. Öğrenciye kazandığı şekeri veren öğretmen, bu sefer çok daha büyük bir sayı ile aynı soruyu yöneltir:

— Sınıf, 644269613 sayısının bir çarpanını bulan ilk kişi ödül olarak bir çanta dolusu şeker alacaktır!

Öğrenciler bir hışımla sıralarına eğilir ve bir yanıt bulmak üzere işlem yapmaya koyulurlar. Fakat, yine aynı öğrenci parmağını kaldırır ve söz aldıktan sonra yanıt verir: “41!” Öğretmen yanıtı onaylamak için 644269613 sayısını 41′e böler ve gerçekten, 644269613 ÷ 41 = 15713893 sonucunu elde eder. Ardından öğrencinin, yanıtı bu kadar çabuk nasıl bulduğunu merak eden öğretmen, öğrencinin yanına gider ve defterine göz ata. Öğrencinin defterinde her bir soru için yalnızca bir satır, toplamda sadece üç satır bulunmaktadır:

Buna göre öğrenci aslında sayıların çarpanını bulmamıştır. Sadece sayıların basamaklarında bulunan rakamları toplamış ve cevap olarak elde ettiği toplamları vermiştir. Üstelik, şaşırtıcı bir şekilde verdiği yanıtlar doğrudur! (kaynak: Recreational Math: Harshad Numbers and Surprising Factorizations)

Bu hikayeye göre sorulacak soru acaba bütün pozitif tam sayıların bu özelliğe sahip olup olmadığıdır. Yani seçeceğimiz rastgele bir pozitif tam sayı, acaba rakamları toplamına kalansız olarak bölünebilir mi? Tabii ki de hayır! Bunu deneme yanılma yoluyla, basit bir pozitif tam sayı seçerek de görebiliriz (örneğin 11 sayısı, rakamları toplamı olan 1 + 1 = 2 sayısına tam bölünmez). Hikayede geçen öğretmen sadece tesadüfi olarak rakamları toplamı, sayının bir çarpanı olan nitelikte sayılar seçmiştir.

1905-1986 yılları arasında yaşamış Hintli bir matematik öğretmeni olan Dattaraya Ramchandra Kaprekar, bu vasfa sahip olan sayıları Harshad sayıları olarak tanımlamıştır. Harshad kelimesi Sanskritçeden gelmekte olup etimolojik olarak “harsa” + “da” yani Türkçe karşılığı “mutluluk” + “veren” anlamındadır (Sanskritçe bilmediğim için ne yazık ki Kaprekar’ın böylesine anlam taşıyan bir kelimeyi seçmesindeki nedeni bilemiyorum. Kim bilir, belki de bu özelliğe sahip sayılar üzerine çalışırken Kaprekar gerçekten de heyecan doluyordu). Bu sayılar, aynı zamanda üzerinde çalışmış bir matematikçi olan Ivan Morton Niven’ın anısına Niven sayıları olarak da isimlendirilmektedir.

Bir sayının Harshad (Niven) sayısı olup olmadığını nasıl anlarız? Yanıt çok basit: Yukarıdaki hikayede yer alan çocuğun yaptığını yaparak. Örneğin 24 sayısını ele alalım. 24 sayısının basamaklarında yer alan rakamların toplamı

dır. Eğer bu toplam 24 sayısını tam bölüyorsa bu durumda 24 sayısı bir Harshad sayısıdır. Gerçekten de 24 ÷ 6 = 4 olup, 24 sayısı 6 ile kalansız bölünebilmektedir ve böylece 24 bir Harshad sayısıdır. Şimdi 32 sayısını ele alalım. 32 sayısının basamaklarında yer alan rakamlar toplamı

olup, 32 ÷ 5 işlemi kalansız değildir, bir başka deyişle 32 ile 5 kalansız olarak bölünemez. Bundan dolayı 32 bir Harshad sayısı değildir. Bu durumu genelleyecek olursak, bir X pozitif tam sayısı eğer basamaklarında yer alan rakamlar toplamı ile kalansız olarak bölünebiliyorsa bu durumda X bir Harshad sayısıdır. Bir başka deyişle bu ifadeyi matematiksel sembollerle göstermek istersek

n basamaklı pozitif bir tam sayı olsun. Eğer

oranı bir tam sayı ise, bu durumda X bir Harshad sayısıdır. Bu tanımın ardından akla gelebilecek bir soru Harshad sayılarını ifade edecek bir formül olup olmadığıdır. “Şu özelliğe sahip sayılar aynı zamanda bir Harshad sayısıdır” diyebileceğimiz pek çok sayı grubu vardır. Örneğin en yüksek basamağındaki rakam hariç her basamağında sıfır rakamı bulunan sayılar bir Harshad sayısıdır:

10,30,80

100,400,600

300000,600000,9000000 

gibi… Veya 9 ile bölünebilen bir sayının basamaklarının arasına veya sonuna sıfır rakamı ilave etmek suretiyle elde edilen sayılar yine bir Harshad sayısıdır. Örneğin 432 rakamları toplamı olan 4 + 3 + 2 = 9 ile tam bölünür, dolayısıyla bir Harshad sayısıdır. O halde 432 sayısının basamakları arasına veya sonuna sıfır rakamını eklenerek elde edilen

gibi sayılar yine bir Harshad sayısıdır. Bu durum sayının 27, 81, 243 gibi, 3² ve 3′ün daha yüksek kuvveti olan sayılarla bölünebilmesi durumunda da geçerlidir. Sonuç olarak belli bir özelliğe sahip sayıların aynı zamanda Harshad sayısı olduğu bu şekilde gösterilebilir ve bu özellikler, Harshad sayıları üzerinde çalışarak çoğaltılabilir. Ancak bu özellikler tek başına Harshad sayılarının tamamını temsil eden özellikler değildir. Dolayısıyla Harshad sayılarını tek başına temsil eden bir kural mevcut değildir.

Sorulabilecek ikinci soru ise Harshad sayılarının sonsuza değin uzayıp uzamadığı, eğer uzamıyorsa kaç tane olduklarıdır. Harshad sayılarının sonsuz adet oldukları kolay bir örnekle görülebilir. Yukarıda en yüksek basamağı hariç her basamağı sıfır rakamından oluşan sayıların Harshad sayıları olduğundan bahsetmiştim. Dolayısıyla 10 sayısı bir Harshad sayısı iken, sayının sağına bir sıfır rakamı ilave edilerek elde edilen 100 sayısı da bir Harshad sayısıdır. Şimdi benzer şekilde 100 sayısının da sağına bir sıfır rakamı ilave edilir ve yeni bir Harshad sayısı bulunur. Her bir sıfır ilave edildiğinde yeni bir Harshad sayısı bulunacağından, Harshad sayılarının sonsuz adet olduğu kolayca görülebilir: 10, 100, 1000, 10000, …

Çoklu Harshad Sayıları: Pozitif bir tam sayı rakamları ile kalansız olarak bölünebiliyorsa bu sayının bir Harshad sayısı olduğunu yukarıda belirtmiştik. Özel olarak bu Harshad sayısından elde edilen bölüm yine bir Harshad sayısı oluyorsa, bu sayıya çoklu Harshad sayısı (multiple Harshad number) denir. Bir örnek olarak 6804 sayısını ele alalım. Bu sayı bir Harshad sayısıdır. Gerçekten,

olup, 6804 sayısı rakamları toplamına tam bölünür. Şimdi, bölme işlemiyle elde edilen bölümün, yani 378 sayısının bir Harshad sayısı olup olmadığını kontrol edelim:

olup, kalansız bölünme gerçekleşir. Böylece, 6804′ün rakamlarına bölümünden elde edilen bölüm olan 378 sayısı da bir Harshad sayısıdır. Bunun ardından 378′in rakamlarına bölümüyle elde edilen 21 sayısına bakmalıyız:

olup, tam bölme gerçekleşir ve böylece 21 sayısı da bir Harshad sayısıdır. Bölme algoritmasını burada sonlandırabiliriz, zira bir basamaklı her pozitif tam sayı aynı zamanda bir Harshad sayısı olduğundan, son bölme işlemiyle elde edilen 7 sayısının Harshad sayısı olup olmadığını kontrol etmeye gerek yoktur. Sonuç olarak, bir Harshad sayısı olan 6804 ile başka bir Harshad sayısı olan 378 sayısını elde ettik ve ardından 378 sayısı ile yine bir Harshad sayısı olan 21 sayısını elde ettik. İşte böyle bir durumda 6804 sayısı bir çoklu Harshad sayısı olup, ardışık bölme işlemlerinde yer alan bölünen sayılar bir Harshad sayısı olacak şekilde üç kez bölme işlemi gerçekleştirilebildiğinden, 6804 özel olarak bir Harshad-3 veya MHN-3 (multi Harshad number) sayısı olarak da isimlendirilir. Özel olarak şunu da ilave etmek isterim ki, 2005 senesinde

sayısının her n doğal sayısı için bir Harshad-(n+2) sayısı olduğu bulunmuştur. Örneğin n = 3 için, 1008.10³ = 1008000 sayısı bir Harshad-5 sayısıdır.