8.5.1. KOMBİNASYON - PERMÜTASYON

KOMBİNASYON - PERMÜTASYON

BU KONUYU İNDİRMEK İÇİN TIKLAYIN

Permütasyon

n tane farklı elemanın bir sıra üzerinde r li (r ≤ n) sıralanışlarından her birine n nin r li permütasyonu denir.

n elemanlı A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı;

 

Not: r=n ise; n farklı elemanın n li permütasyonlarının sayısı P(n,n)=n! dir.

Yani n farklı elemanın doğrusal bir sıra üzerindeki farklı sıralanışlarının sayısı n! tanedir.

Tekrarlı Permütasyon

n tane nesnenin n₁ tanesi bir türden, n₂ tanesi ikinci türden, ...n_r tanesi r. türden ve n₁+n₂+...+n_r=n ise n nesnenin n li permütasyonlarının sayısı;

n tane eleman içerisinden;

n1 tanesi 1. çeşit ve özdeş,

n2 tanesi 2. çeşit ve özdeş,

n3 tanesi 3. çeşit ve özdeş,

.........................................

.........................................

nr tanesi r. çeşit ve özdeş olmak üzere;

bu n eleman bir sıra üzerinde

 

KOMBİNASYON

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinden her birine n nin r li kombinasyonu denir.

 

 

( n , r ∈ N, n ≥ r )

 

 

Örnek

{ali, burak, cem, deniz, esra } sağlık elemanlarından oluşan ekipten 3 kişilik ilk yardım ekibi kaç farklı şekilde kurulabilir?

Çözüm

 

Ekipteki elemanların yer değiştirmesi farklı bir ekip meydana getirmiyor. Oluşturulabilen tüm farklı ekipler aşağıda da görüldüğü gibi 10 tanedir.

abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde

3 kişilik 10 tane farklı ekip

Eleman sayısı 5 olan bir kümenin elemanlarından

3 tanesi seçilerek oluşturulabilecek farklı

Gurupların sayısını arıyoruz.

5 elemanın 3 lü sıralanışları sayısının P(5,3) tane olduğunu biliyoruz.

Her sıralanışta 3 eleman 3! kadar kendi arasında yer değiştirmektedir, bu da farklı bir gurup oluşturmamaktadır.

O halde tüm durum sayısı olan P(5,3) den farklı durum meydana gelmeyen 3! tane gurup sayısı atılmalıdır.

Çarpım durumundaki ifadelerden istenmeyen durumun atılması bölme ile yapıldığından;

P(5,3)/3! tane farklı gurup oluşturulabilir.

Genelleme

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinden her birini, n elemanın r li gurup sayısı olarak düşünebileceğimizden;

 

şeklinde hesaplanır.

Not

Permütasyonda sıralanışın önemi vardır fakat kombinasyonda sıralanışın önemi yoktur. Seçim yapma ve gruplama işlemleri kombinasyonla,

Sıralama ve dizme işlemleri permütasyonla hesaplanır.

ÖRNEKLER

 

1.5 kişi bir sıra halinde sıralanacaktır.

a) Bu 5 kişiden belli iki kişi bir arada olacaksa kaç farklı şekilde sıralanırlar?

A,B,C,D,E bir sıra halinde dizilecek kişiler ve belli iki kişi D ile E olsun

a) A,B,C,D,E ; D ile E sanki tek kişilermiş gibi düşünülürse, birbirlerinden ayrılmamış olurlar.

4! . 2! = 48 farklı sıralanırlar.

Dikkat: 4 kişiymiş gibi sıralandı. D ile E kendi arasında yer değiştirebilir.

b) Belli iki kişi bir arada olmayacaksa kaç farklı şekilde sıralanırlar?

 

b)

 D ile E yan yana gelmeyecek;

Tüm durum sayısı = 5!=120

İstenmeyen durum sayısı = 4!.2!=48

İstenen durum sayısı = 120 – 48 =72

5 kişi 120 farklı şekilde sıralanabilir, bunlardan 48 tanesinde belli iki kişi yan yana gelir ve 72 tanesinde yan yana gelmez.

 SORULAR

1.

 2.

 3.

 4.

  DAHA FAZLA SORU VE KONU İÇERİĞİ İÇİN LÜTFEN  TIKLAYIN.
BU KONUYU İNDİRMEK İÇİN TIKLAYIN