Picasso ve 4 Rakamı

Picasso ve 4 Rakamı



Picasso ve 4 Rakamı

Picasso 1881 – 1973 yılları arasında yaşamış bir ressamdır. Fakat 4 rakamı ile ilgili ilginç bir durum söz konusu. Matematik dersinde de başarılı olan Picasso problemlerde veya sorularda 4 rakamını gördüğünde bu rakamı bir buruna benzeterek geri kalan uzuvları çizmeye başlarmış.

Her ne kadar matematik öğretmeni bu konuda çok uğraşsa da bu durumdan onu kurtaramamış. Picasso ise 4 rakamını gördüğünde elinde olmadan diğer bütün işlerle ilgilenmeyi bırakıp bu rakamı insan yüzüne dönüştürmek istediğini söylermiş.

Hayal gücü oldukça yüksek olan Picasso, öğrencilik yıllarındaki bu özelliği ile ileride ünlü bir sanatçı oluyor.
Öğretmenlerde Mesleki Tükenmişlik

Öğretmenlerde Mesleki Tükenmişlik

Öğretmenler odasındaki konuşmalara dikkat ettiğimizde öğretmenlerin okuldan kaçma, okuldan ayrılma, uzun süreli tatile çıkma ve okulu unutma, meslektaşlarını sevmeme, öğrencilerden nefret etme gibi bir sorunla karşılaştığı gözleniyor. Bunu zaten sendikaların araştırmaları veya MEB’in anketleri de destekliyor.
Bu konuda bir öneride bulunmadan öncelikler mesleki tükenmişlik sendromuna iten  inceleyelim :
• Ekonomik yetersizlikler,
• Eğitim-öğretim felsefesindeki değişmeler,
• Karar mekanizmalarına katılamama,
• Statü kaybı,
• Eğitim politikalarındaki sürekli değişmeler,
• Olumsuz okul ortamı,
• Yöneticilerin ve meslektaşların olumsuz tutumları,
• Mesleki doyumsuzluk,
• Stres,
• Kaygı, korku, öfke,
• Anlayışsız veli profili,
• Siyasileşme,
• Yapıcı eleştirilerin, yeniliklerin, üretken ve yaratıcı çabaların yetersizliği,
• Demokratik ve katılımcı olmayan, hiyerarşik, merkeziyetçi ve bürokratik bir yönetim anlayışının olması,
• Objektif ödüllendirme araçlarının eksikliği,
• Güvensizlik ve çalışanların terfi ve mesleki gelecek konusunda belirsizlik yaşamaları.
•Kariyer yapma imkanının kısıtlanması gibi faktörler bu sonucu doğurmaktadır.
Bu noktada tükenmişlik sendromuna kapılan öğretmen kendisine, meslektaşlarına, öğrencilerine, ailesine, velilere, sosyal çevreye, zarar verebilmektedir. Her defasında söylediğimiz gibi mutsuz öğretmen mutlu bireyler yetiştiremez. Mutsuz bireyler de mutsuz toplum meydana getirir. Bu noktada bu soruna bir çözüm üretmek gerekmektedir fakat bu çözümü de yine kendimizde bulmalıyız.
Mesleki Tükenmişliğin  incelendiğinde;
I. Evre:
• Şevk ve Coşku Evresi: Bu evrede yüksek bir umutluluk, enerjide artma ve gerçekçi olmayan boyutlara varan mesleki beklentiler sergilenmektedir.
• Kişi için mesleği her şeyin önündedir.
• Uykusuzluğa, gergin çalışma ortamlarına, kendine ve yaşamın diğer yönlerine zamanını ve enerjisini ayıramayışına karşı üstün bir uyum sağlama çabasındadır.
II. Evre:
• Durağanlaşma Evresi: Bu evrede artık istek ve umutta bir azalma olur.
• Mesleğini uygularken karşılaştığı güçlüklerden, daha önce umursamadığı ya da yadsıdığı bazı noktalardan giderek rahatsız olmaya başlamıştır.
• Sorgulanmaya başlanan “işten başka bir şey yapmıyor olmak”tır.
• Zira mesleği, kuramsal ve pratik tüm yönleri ile kişinin varoluşunu tamamen dolduramamıştır.
III. Evre:
Engellenme Evresi: Başka insanlara yardım ve hizmet etmek için çalışmaya başlamış olan kişi, insanları, sistemi, olumsuz çalışma koşullarını değiştirmenin ne kadar zor olduğunu anlar.
• Yoğun bir engellenmişlik duygusu yaşar.
• Başa çıkma stratejileri ile tükenmişliği ilerletme durumundan kendini çekme veya kaçınma,
IV. Evre:
Umursamazlık Evresi: Bu evrede, çok derin duygusal kopma ya da kısırlaşma, derin bir
inançsızlık ve umutsuzluk gözlenmektedir.
• Mesleğini ekonomik ve sosyal güvence için sürdürmekte, ondan zevk almamaktadır.
• Böyle bir durumda iş yaşamı kişi için bir doyum ve kendini gerçekleştirme alanı
olmaktan çok uzak, kişiye ancak sıkıntı ve mutsuzluk veren bir alan olacaktır.
Tükenmişliğin Belirtileri
Psikofizyolojik belirtiler:
• Yorgunluk ve bitkinlik hissi,
• Enerji kaybı, kronik soğuk algınlığı,
• Sık baş ağrıları ve uyku bozuklukları, sindirim bozuklukları ve kilo kaybı,
• Psikosomatik hastalıklar,
• Koroner kalp rahatsızlığı riskinde artma.
Psikolojik belirtiler:
• Duygusal bitkinlik,
• Kronik bir sinirlilik hali,
• Çabuk öfkelenme,
• Zaman zaman bilişsel becerilerde güçlükler yaşama,
• Hayal kırıklığı, çökkün duygu durumu, huzursuzluk, sabırsızlık,
• Benlik saygısında düşme, değersizlik,
• Eleştiriye aşırı duyarlılık,
• Karar vermekte yetersizlik,
• Boşluk ve anlamsızlık hissi, ümitsizlik.
Davranışsal Belirtiler
• Hatalar yapma,
• Bazı şeyleri erteleme ya da sürüncemede bırakma,
• İşe geç gelme,
• İzinsiz olarak ya da hastalık nedeni ile işe gelmeme,
• İşi bırakma eğilimi, hizmetin niteliğinde bozulma,
• İşte ve iş dışındaki ilişkilerde bozulma,
• Kaza ve yaralanmalarda artış,
• Meslektaşlara ve hizmet verilen kişilere, mesleğe vb.. karşı alaycı bir tavır sergileme,
• İşle ilgilenmek yerine başka şeylerle vakit geçirme, kuruma ilginin kaybı,
Mesleki Tükenmişlik Nasıl Önlenir?
Tükenmişlik, bir sendrom ve sistem sorunu olarak ele alınmalıdır.
• En önemlisi baştan, ortaya çıkarıcı etmenlerin giderilmesi, bu olmuyorsa erken dönemde tanınarak hızla müdahale edilmesidir.
• Ülkemizde çağdaş yönetim ilkelerine uygun olarak örgütlenmesi için çalışanların görevlerini ve yetkilerini belirleyen gerekli yasal düzenlemelerin yapılması ve yaşama geçirilmesi,
• Sistemdeki ödül kaynaklarının arttırılması,
• Düşük ücret sorununun giderilmesi,
• Tatil ve sosyal aktivite olanaklarının arttırılması, personel yetersizliği sorununun giderilmesi.
• Görev tanımlarının açık ve net olması,
• İşe yeni başlayan kişinin oryantasyon programına katılımının sağlanması,
• Düzenli ekip içi toplantıları ile öneri ve eleştirilerin alınması,
Sorun çözmede kalıcı mekanizmaların oluşturulması,
• Sorunların ilk ortaya çıkış anında ele alınması,
• Yöneticilerin çalışanı desteklediklerinin ve sıkıntılı bir durumda kendilerinden yardım labileceklerin çalışanlarca biliniyor olması,
•Öğretmenlerin gereksinim duyduğu sürekli eğitim olanaklarının sağlanması,
• Tükenmişlik seviyesine gelmiş olan bireyin en önemli ihtiyacı güç ve inançtır. Bu aşamadan çıkış için bakış açılarının, düşünce sisteminin, değerler sıralamasının değiştirilmesi ve geliştirilmesi gerekir.
Her şey benim kontrolümde olsun, mükemmel olursam kontrolü ele alabilirim, başkalarını memnun etmek zorundayım, insanları incitmemem gerekir, herkes beni sevsin” gibi mantıksız inançların, otomatik düşüncelerin, olumsuz algıların fark edilmesi ve düşüncelerin yeniden yapılandırılması gerekir.
• İşe başlamadan önce kişi yaptığı işin zorluklarını ve risklerini öğrenmelidir.
• Tükenmenin ne olduğunun ve belirtilerinin bilinmesi kişinin kendindeki durumu erkenden tanımasını ve çözüm aramaya yönelmesini sağlayacaktır.
• Kişiler duygularını ve zorluklarını paylaşmaları gerektiğinde yardım istemeleri konusunda teşvik edilmelidirler.
Stresi kontrol etmeyi bilmeli. Herkesin bir stres eşiği vardır ve bu eşiği aşmamak gerekir.
Düzenli bir hayat tarzı, sağlıklı beslenmek, ve ideal kiloyu korumak uygulanması gereken temel kurallardır.
• Ayrıca uyku ritmine dikkat etmek gerekir. Rahat bir uyku için yatağa girmeden önce; günlük bütün stres nedenlerini aklınızdan uzaklaştırmak,
• Hoşa giden konuları düşünmek,
• Hoşlandığınız bir filmi seyretmek; size düzenli bir uyku sağlayabilir.
Alkol ve sigarayı bırakmak ya da azaltmak yorgunluktan kurtulmada en önemli etkenlerden biridir.
• Aynı yerde çalışan kişilerin zaman zaman iş dışı konularda konuşmaları ve birlikte hoşça vakit geçirmeleri, aralarında daha sıcak ve yakın bir ilişki kurulmasını sağlayarak birbirlerine olan desteklerini arttırır.
• Birlikte çalışanların uyumlu bir ekip çalışması içinde olmaları, aralarında adil bir görev paylaşımının olması, hem hizmetin kalitesini arttırır, hem de ilişki sorunlarını önler.
• Birlikte çalışmadan doğan sorunların zamanında, sorun kronikleşmeden çözülmesi gereklidir.
• İşte karşılaşılan sorunların ve duygusal zorlukların paylaşılabileceği destekleyici grupların oluşturulması da yararlıdır.
• Daha kıdemli iş arkadaşları, işe yeni başlayan kişilere gerçekçi rol modelleri olabilmelidirler.
• İş yerinde destekleyici bir ortam içinde olmak kritik bir öneme sahiptir.
• İş dışındaki yaşamda ailenin ve diğer yakın kişilerin desteği vazgeçilmezdir, ayrıca bu yolla kişi, işi dışında var olduğu ve takdir edildiği bir alan bulmuş olacaktır.
Bu tür olan arkadaşlarımıza destek vermek de oldukça önemlidir. Öğretmen arkadaşlarımız arasında bu tür kişilerin olmasının bizim de enerjimizi düşüreceğini unutmayın. Belli bir enerji ve heves için çalışmalar yapmak için bu tür kişileri kendi aramızda yükseltmemiz gerektiğini ve sıradanlıktan kurtarmamız gerektiğini unutmayalım.
Bununla birlikte bu tür ve sendroma kapıldığınızı hissettiğinizde işinizde ve dersinizde yenilikler yapmayı deneyin. Sıradanlıktan kurtulmaya çalışın.
İdareci olarak da böyle öğretmenleri fark ettiğimiz anda öğretmenleri ödüllendirebileceğimiz, heveslendirebileceğimiz alanlara yöneltmemiz ve onların sıradanlıktan kurtarmamız gerektiğini unutmayalım.
11. SINIF LOGARİTMA KONU ANLATIMI

11. SINIF LOGARİTMA KONU ANLATIMI


KONUYU İNDİRMEK İÇİN TIKLAYIN. 



LOGARİTMA

I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR


2y = 24 eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)
Buraya kadar anlatılan bilgiler 6a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.


A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

 olmak üzere,

      
biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.
a > 0 olduğundan f(x) = ax > 0 olur.

B. LOGARİTMA FONKSİYONU

 olmak üzere,
      
biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.

      
şeklinde gösterilir. Buna göre,

       dir.

y = logax ifadesinde  sayısına  sayısının a tabanına göre logaritması denir ve ‘‘y eşittir a tabanına göre logaritma x ’’ şeklinde okunur.

C. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
Kural
1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,


Kural
Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre,


Kural

Kural

Kural

Kural


D. ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) = logax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.

      
1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.
1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.
 Kural
  x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.
  0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı –(K – 1) dir.
  
E. DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
f(x) = logax fonksiyonunda taban
 = 2,718281828459045235360287471352... alınırsa ( sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

      
İşlemlerde genellikle logex yerine lnx ifadesi kullanılır.

II. LOGARİTMALI DENKLEMLER
Özellik
a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,
 logaf(x) = b ise f(x) = ab dir.
 logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir.
Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.
Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.
  
III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
Kural
logaf(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.



11. SINIF SERİLER KONU ANLATIMI

11. SINIF SERİLER KONU ANLATIMI


KONUYU İNDİRMEK İÇİN TIKLAYIN. 

SERİLER

A. SERİLER

Tanım
(an) reel terimli bir dizi olmak üzere,

sonsuz toplamına seri denir.
an ye serinin genel terimi denir.
Tanım
Serinin ilk n teriminin toplamı olan,

ifadesine serinin n. kismî toplamı denir.

dizisine serinin kısmî toplamlar dizisi denir.
Kural
Bir serinin değeri (toplamı), kısmî toplamlar dizisinin limitine eşittir.

Tanım
Kısmî toplamlar dizisi yakınsak olan seriye yakınsak seri, kısmî toplamlar dizisi ıraksak olan seriye ıraksak seri denir.

 serisinin kısmî toplamlar dizisi (Sn) olsun.
1. (Sn) dizisi ıraksak ise  serisi de ıraksaktır.
2. (Sn) dizisi yakınsak ise  serisi de yakınsaktır.
Kural
1.  serisi yakınsak ise lim(an) =0 dır.
2. lim(an) = 0 iken  yakınsak olmayabilir.
3. lim(an) ¹ 0 iken  ıraksaktır.

B. ARİTMETİK SERİLER
(an) dizisi bir aritmetik dizi ise,

serisine aritmetik seri denir.
Aritmetik serinin n. kismî toplamı:


C. GEOMETRİK SERİLER
(an) dizisi bir geometrik dizi ise,

serisine geometrik seri denir.

 geometrik serisinin n. kismî toplamı:


Kural
 geometrik serisinde;
|r| ³ 1 ise seri ıraksaktır.
|r| < 1 ise seri yakınsaktır.
Yakınsak ise, serinin toplamı:



11. SINIF DİZİLER KONU ANLATIMI

11. SINIF DİZİLER KONU ANLATIMI


KONU ANLATIMI İNDİRMEK İÇİN TIKLAYIN.

DİZİLER

A. TANIM
Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi adı verilir.

      
 fonksiyonununda,

      
 olduğuna göre,

      
 biçiminde yazılabilir.
f fonksiyonu (dizisi) genel olarak,

      
 biçiminde veya kısaca (an) biçiminde gösterilir.
a1, dizinin 1. terimi (ilk terimi);
a2, dizinin 2. terimi;
a3, dizinin 3. terimi;
...
an, dizinin n. terimi (genel terimi) dir.
 Uyarı
 1. Genel terimi belirtilmeyen sayı grupları dizi meydana getirmezler.
 2. Diziler değer kümesine göre adlandırılır. Değer kümesi; reel sayılar kümesi olan dizi reel sayı dizisi, karmaşık sayılar olan dizi karmaşık sayı dizisi adını alır.

 B. SONLU DİZİ

Tanım kümesi Ak olan dizilere sonlu dizi denir.
 C. SABİT DİZİ
Bütün terimleri birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir.
 D. EŞİT DİZİ
Her n pozitif tam sayısı için,
      an = bn
 ise, (an) ve (bn) dizilerine eşit diziler denir.
 E. DİZİLERLE YAPILAN İŞLEMLER
(an) ve (bn) birer dizi, c bir reel sayı olmak üzere,

 F. MONOTON DİZİLER

Genel terimi an olan bir dizide eğer her  için,

 Uyarı

 dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde incelenir:
 1. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur.
 Bu durumda,
 a) ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır.
 b) ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır.
 c) ad – bc = 0 ise dizi sabittir.
 2. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizimonoton değildir.
  
G. ALT DİZİ
Bir (an) dizisi verilmiş olsun.

(kn) artan bir pozitif tam sayı dizisi olmak üzere,  dizisine (an) dizisinin alt dizisi denir ve  biçiminde gösterilir.

H. DİZİLERİN YAKINSAKLIĞI VE IRAKSAKLIĞI
1. Komşuluk
a ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere,

      
açık aralığına a nın e (epsilon) komşuluğu denir.
Bu aralığı (kümeyi) T ile gösterirsek,

      
olur.
T kümesi sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir.

      
Uyarı
 1. (an) dizisinin, a nın e komşuluğundaki terimleri,

font color="black">         
      eşitsizliğini sağlar.
 2. (an) dizisinin, a nın e komşuluğu dışındaki terimleri,

         
      eşitsizliğini sağlar.
 I. YAKINSAK DİZİLER ve IRAKSAK DİZİLER
(an) bir reel sayı dizisi, a sabit bir reel sayı olsun.
Her e pozitif reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi, a nın e komşuluğunda bulunuyorsa, (an) dizisi a ya yakınsıyor denir.
(an) dizisi a sayısına yakınsıyorsa; (an) dizisine yakınsak dizi denir.
Yakınsak olmayan dizilere ıraksak diziler denir.
 J. DİZİLERİN LİMİTİ
1. Limitin Tanımı
(an) bir reel sayı dizisi olsun.
(an) dizisi sabit bir a reel sayısına yakınsıyor ise, a sayısına (an) dizisinin limiti denir.
      lim(an) = a ya da (an® a
biçiminde gösterilir.
 Kural
 1. (an) dizisi bir a reel sayısına yakınsıyorsa, bu dizinin her alt dizisi de a reel sayısına yakınsar. Bunun karşıtı doğru değildir.
 2. Bir dizinin limiti varsa bir tanedir.

 3.  olmak üzere, (an) = (c) ise,
          lim(an) = lim(c) = c dir.
     (Her sabit dizi yakınsaktır.)

 2. Limitle İlgili Özellikler
Kural
(an) ve (bn) birer dizi; a, b, c birer reel sayı olmak üzere,

  
K. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ
Reel sayılar kümesine, artı sonsuz (+¥) ve eksi sonsuz (–¥) kavramlarının katılmasıyla elde edilen
      [–¥, +¥]
aralığına (kümesine) genişletilmiş reel sayılar kümesi denir.
 1. Iraksak Diziler
Kural
 1. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (+¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (+¥) dur veya (an) dizisi (+¥) a ıraksar denir.
 2. Her K reel sayısı için, (an) dizisinin hemen hemen her terimi (–¥) un K komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti (–¥) dur veya (an) dizisi (–¥) a ıraksar denir.
 3. (+¥) a veya (–¥) a ıraksayan dizilere ıraksak diziler denir.

2. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde İşlemler


 Kural
Dizilerin limitleri bulunurken elde edilen,

ifadeleri belirsizdir.

Kural

 Kural


Kural
(an) bir dizi; c bir reel sayı olmak üzere,

Kural
(an) bir dizi olmak üzere,

      

Uyarı
(1n) sabit dizisi ile  dizisi birbirine karıştırılmamalıdır.


Uyarı
Genel terimi rasyonel kesir olan dizilerin limitinin hesaplanmasında, aşağıdaki sıralama kullanılır.

     

Kural


Kural
(an) pozitif terimli bir dizi olsun.

  
3. Belirsizlik Durumları

a.  Belirsizliği
Bu tür belirsizlikleri daha önce verdiğimiz kural yardımı ile sonuçlandırabiliriz.
 b.  0 . ¥  Belirsizliği
Bu tür belirsizlikler,  belirsizliğine dönüştürülerek limit bulunur.
 c.  ¥ – ¥  Belirsizliği

¥ – ¥ tipindeki belirsizlikleri cebirsel işlemler yaparak giderebiliriz.
 Kural


Bu belirsizliği ortadan kaldırmak için, (an) dizisinin payı ve paydası  ifadesiyle genişletilir.

Uyarı

 dizisinde (+¥) – (+¥) belirsizliği vardır.

 dizisinde belirsizlik söz konusu
 değildir. Bu dizide (+¥) + (+¥) durumu vardır.
       (+¥) + (+¥) = +¥
 olduğu için, bu dizi +¥ a ıraksar.
 Kural
a > 0 olmak üzere,

      

olur.

L. SINIRLI DİZİLER
1. Üst Sınır

Her  için, an £ M olacak şekilde bir M reel sayısı varsa (an) dizisine üstten sınırlıdır denir.
M sayısı da bu dizinin üst sınırı adını alır. M den büyük her reel sayı da (an) dizisinin üst sınırıdır.
Üstten sınırlı bir dizinin üst sınırlarından en küçük olanına dizinin en küçük üst sınırı (Eküs) denir.
(an) dizisinin Eküs ü, Eküs(an) biçiminde gösterilir.
 2. Alt Sınır
Her  için, m £ an olacak şekilde bir m reel sayısı varsa (an) dizisine alttan sınırlıdır denir.
m sayısı da bu dizinin alt sınırı adını alır. m den küçük her reel sayı da (an) dizisinin alt sınırıdır.
Alttan sınırlı bir dizinin alt sınırlarından en büyük olanına dizinin en büyük alt sınırı (Ebas) denir.
(an) dizisinin Ebas ı, Ebas(an) biçiminde gösterilir.
 3. Sınırlı Diziler
Hem alttan hem de üstten sınırlı olan dizilere, sınırlı diziler denir.
 Uyarı
 1. Sınırlı bir dizide Eküs ve Ebas dizinin elemanı olmayabilir.
 2. Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, sınırlı olmasıdır.
 3. Yakınsak her dizi sınırlıdır. Bu ifadenin karşıtı doğru olmayabilir.
 4. Monoton ve yakınsak bir dizinin, ilk terimi ile limitinden; büyük olanı Eküs, küçük olanı Ebas tır.