Asal Sayılar İle İlgili Henüz Çözülememiş Problemler

Sayılar Teorisinde ASAL  SAYILAR  İle İlgili  Henüz Çözülememiş Problemler

A1]  a² + 1 formunda sonsuz çoklukta asal sayı var mıdır?

Problemle ilgili geçmişteki gelişmeler : 

  Matematikçi Iwaniec  n² + 1 en fazla iki asal sayının toplamı olacak şekilde sonsuz çoklukta n sayıları olduğunu gösterdi.

Ayrıca Sierpinski şunu gösterdi ki her k sayısı için öyle bir b sayısı vardır ki a² + b formunda k dan daha fazla asal sayı vardır. Fakat a² + 1 formunda sonsuz asal olup olmadığı hala kanıtlanamamıştır.

A2]  n! ± 1 formunda sonsuz çoklukta asal sayı var mıdır ?

A3]  2^p – 1 formunda sonsuz sayıda asal var mıdır?

  Açıklama : Bu sayılara mersenne sayıları , asal olanlarına ise mersenne asalları denir. Bulunan en büyük asal sayılar genellikle mersenne asallarıdır.

A4]  2^f + 1 formunda sonsuz sayıda asal var mıdır?

  Açıklama : Bu sayıların asal olması için  f’ nin de  [0 hariç] 2’ nin bir kuvveti olması gerekir. Aksi halde çarpanlarına ayrılabilir ve bu bir bileşik sayı olur. Bu sayılara fermat sayıları , asal olanlarına ise fermat asalları denir.  f =0, 1, 2, 4, 8, 16 için 2^f + 1asal dır. Bunlardan başka fermat asalı var mı bilinmiyor. Fermat asallarının sonlu olduğu düşünülüyor ancak henüz kanıtlanamadı. Bu arada f = 2^k       için  5 ≤ k ≤ 21 değerlerinde fermat sayılarının asal olmadığı bilgisayar programlarıyla ve bireysel işlemlerle vs. gösterildi.

A5]  Fibonacci sayıları arasında sonsuz çoklukta asal var mıdır?

Açıklama : 1 den itibaren kendinden önceki iki sayının toplamı olarak ifade edilen bir diziye fibonacci dizisi denir. Bu dizideki sayılara fibonacci sayıları denir. Fibonacci dizisi ;

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,… f _n, f_n1,  f_n+ f_n1   şeklindedir.

A6]  P₁ ve P₂ asal ve P₂ =P₁+2 olan sayılara ikiz asal sayılar denir. İkiz asallar sonsuz çoklukta mıdır? 

      Örneğin : 5-7, 11-13, 17-19, 29-31, 41-43, 59-61 gibi …

A7]  Ardışık iki tam kare  a ²  ile [a+1]² arasında her zaman bir asal var mıdır?

Açıklama :  Bertrand postulatına göre kanıtlanmıştır ki  n ile 2n arasında her zaman bir asal sayı vardır. Örneğin 2 ile 4 arasında 3 asalı, 4 ile 8 arasında 5 ve 7 asalları gibi. Fakat ardışık iki tamkare arasında her zaman asal olup olmadığı kanıtlanamamıştır.